Question

如图，以OA₁＝2为底边做等腰三角形，使得第三个顶点C₁恰好在直线y=x+2上，并以此向左、右依次类推，作一系列底边为2，第三个顶点在直线y=x+2上的等腰三角形．

（1）请你通过计算说明：底边为2，顶点在直线y=x+2上且面积为21的等腰三角形位于图

中什么位置？

（2）求证：y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半（如：S_右1=，S_右2=）．

（3）过D₁、A₁、C₂三点画抛物线．问在抛物线上是否存在点P，使得△PD₁C₂的面积是△C₁OD₁与△C₁A₁C₂面积和的．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），，或。     

，或，解得 或      

∴在y轴的右边从左到右第10个或y轴的左边从右到左第12个．

（2）y轴右侧第n个等腰△An-1AnCn的底边两端点坐标为An-1（，0），An（，0），

∴面积为，                 

前后两个非等腰三角形的面积和为．

∴y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半．                                          

（3）过D1, A1, C2三点的抛物线解析式为：，

△C1OD1与△C1A1C2面积和等于2×2×3＝6，

当点P在直线下方时：，

解得：，；   ∴，

∴P1（0，—2），P2（2，0）。                         

当点P在直线上方时：

得：，即，

解得：，，   ∴，。

∴P3（，），P4（，）。    

∴存在符合题意的点P，它们的坐标是：（0，—2），（2，0），（，），（，）。                              

【解析】（1）利用三角形面积公式求解；

（2）先计算出相邻三个三角形面积，然后比较它们的关系；

（3）先求出过D1, A1, C2三点的抛物线解析式，然后点P分两种情况进行讨论。