Question

如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）

图1                     图2

（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

Answer

（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）

故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为

由

得当x=2时，该抛物线的最大值是4.

（2）① 点P不在直线ME上.已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，

设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8.

由已知条件易得，当时，OA=AP=，

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.      

∴ 当时，点P不在直线ME上. 

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5

∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)

∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 ,  

∴ PN=-t 2+3 t  

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是梯形.

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3

当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2

 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5

综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N点的坐标（1,3）

当t=2时，此时N点的坐标（2,4）

【解析】（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；

（2）①当t=时，OA=AP=，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；

②此题要分成两种情况讨论：

一、PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；

二、PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．