Question

在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点

（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；

（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.

Answer

（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】(1)面积=OA OA π45/360=π/2

(2)当MN和AC平行时，AM/AB=CN/CB

因AB=CB，故AM=CN，△OAM≌△OCN

∠AOM=∠CON

又∠CON=∠YOA（因同时旋转），∠CON+∠YOA=45°，故∠YOA=22.5°

(3)周长不会变化。

延长MA交Y轴于D点，则可证：

△OAD≌△OCN， AD=CN，OD=ON

△OMD≌△OMN，MN=MD=MA+AD=MA+NC

所以△MBN的周长为P=BM+BN+MN=BM+BN+MA+NC=AB+BC=2+2=4

（1））因为A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，所以OA旋转了45度．所以OA在旋转过程中所扫过的面积为π/2

(2)当MN和AC平行时，∠AOM=∠CON，因同时旋转，∠CON=∠YOA，即正方形旋转的度数为22.5°

(3) 延长MA交Y轴于D点，证得△OAD≌△OCN，△OMD≌△OMN，据此即可证明△MNP的周长等于正方形边长的2倍，据此即可求解