Question

如图, 已知直线分别与轴, 轴交于两点, 点在轴上. 以点为圆心的⊙与直线相切于点, 连接.

(1) 求证: ∽;

（2）如果⊙的半径为, 求出点的坐标, 并写出以为顶点, 且过点的抛物线的解析式;

    (3) 在(2)的条件下, 在此抛物线上是否存在点, 使得以三点为顶点的三角形与相似? 如果存在, 请求出所有符合条件的点的坐标; 如果不存在, 请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）(0,2) (3) (5,2)与(4,10)

【解析】（1）∵ 直线与⊙相切于点, ∴ , 而,

∴ ∽;                                                        

（2）容易求得点(0,12), 点(-6,0), 且, ∵ ∽,

∴ , 可得, ∴ 点的坐标为(0,2);     

设以为顶点的抛物线解析式为, (0,2)代入, 得,

所以所求抛物线解析式为;                   

（3）根据草图观察,

所求点应该在轴右侧, 两条直角边应为2:1. 我们把所求直角三角形分

为 ① 是较短直角边; ② 是较长直角边; ③ 是斜边 这样三类.

对于①, 容易求得(20,12), (20,2), 但两点均不在抛物线上, 不符合要求;

对于②, 容易求得(5,12), (5,2), 其中不符合要求;

对于③, 可以通过先求的高等于4后得到(4,10), (4,4), 其中不符合要求.

综上所述, 符合条件的点的坐标有(5,2)与(4,10).             

（1）依题意得出MD⊥AB继而推出∠MDA=∠AOB，∠MAD=∠BAO，然后可证明．

（2）依题意根据勾股定理求出AB的值，首先△ADM∽△AOB，利用线段比求出AM的值．已知顶点坐标代入解析式可求出a值．

（3）点P若存在，只能在y轴左侧的抛物线上，有六种可能．