Question

如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；

（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.

Answer

（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE==3．

∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD=．

∴D点坐标为（0，）．

（2）如图①∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

又知AP=t，ED=，AE=5，

PM=×=，

又∵PE=5﹣t．

而显然四边形PMNE为矩形．

S矩形PMNE=PM•PE=×（5﹣t）=﹣t2+t；

∴S四边形PMNE=﹣（t﹣）2+，

又∵0＜＜5．

∴当t=时，S矩形PMNE有最大值．

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P为AE的中点，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M为AD的中点．

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴当t=时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形．

此时M点坐标为（，）．

（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

在Rt△AOD中，AD===．

过点M作MF⊥OA，垂足为F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP===2，

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，

∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．

综合（i）（ii）可知，t=或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，

相应M点的坐标为（，）或（5﹣2，）．

【解析】

（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．

在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标．

（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值．

（3）本题要分两种情况进行讨论：

①ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．

②当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标．