Question

 如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C

（1）利用直尺和圆规，在图②中作出△ABC的自相似点P（不写作法，但需保留作图痕迹）；

（2）若△ABC的三内角平分线的交点P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

Answer

(1)①作图

作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点．  

②连接PB,PC．∵P为△ABC的内心，∴，．

P为△ABC的自相似点，由条件可知，只能是△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠BAC，

∠ACB＝2∠BCP=4∠BAC．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°,∴．

∴该三角形三个内角的度数分别为，，．

【解析】（1）根据题中的信息，做出△ABC的自相似点P；

（2）由自相似点的含义可知△BCP∽△ABC，得出各角之间的关系。