Question

如图，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足____▲_____关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形.

Answer

（1）见解析（2）EF⊥AC

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），

AE∥CF（矩形的对边平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）．（4分）

（2）【解析】
当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．（5分）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．

又由（1）△BOE≌△DOF得，

OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（6分）

又EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（8分）

（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；

（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求证