Question

已知四边形ABCD，E是CD上的一点，连接AE、BE.（1）给出四个条件: ① AE平分∠BAD,② BE平分∠ABC, ③ AE⊥EB,④ AB=AD+BC.

请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明；

（2）请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由.

Answer

（1）见解析（2）不正确，理由见解析

【解析】（1）如: ①②④AD∥BC  …… 1分

证明：在AB上取点M,使AM＝AD，连结EM,   …… 1分

∵ AE平分∠BAD    ∴∠MAE＝∠DAE

又∵AM＝AD  AE＝AE，  ∴ △AEM≌△AED

∴  ∠D=∠AME                          …… 1分

又∵ AB=AD+BC   ∴ MB=BC， ∴△BEM≌△BCE

∠C=∠BME       …… 1分                       

故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴ AD∥BC    …… 2分

（2）不正确     …… 1分

作等边三角形ABM 

AE平分∠BAM,BE平分∠ABM          

且AE、BE交于E，连结EM,则EM⊥AB，过E作ED∥AB交

AM于D,交BM与C，则E是CD的中点而AD和BC相交于点M 

∴ 命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的. …3分

（1）观察题中给定条件，由①②④可推出AD∥BC，只要在AB上取点M，使AD=AM，即可证△AEM≌△AED，△BEM≌△BCE，并能得到∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°，从而得到AD∥BC．

（2）由①②③不能推得AD∥BC，证明即可．