Question

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D。

（1）求证：AT平分∠BAC。

（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径。

Answer

（1）见解析（2）2

【解析】连结OT ∵PQ切⊙O于T ∴OT⊥PQ 又∵AC⊥PA ∴OA∥AC

∴∠TAC＝∠ATO 又∵OT＝OA ∴∠ATO＝∠OAT ∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC

（2）过点O作OM⊥AC于M ∴AM＝MD＝AD＝1

又∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°

∴四边形OTCM为矩形 ∴OM＝TC＝

∴在Rt△AOM中 AO＝＝＝2

即⊙O半径为2

（1）连结OT ，PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．

（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．