Question

如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．点A是切点．B是⊙O上一点．

且PA = PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C．

（1）求证：PB是⊙O的切线 ；

（2）求证： AC · PC= OC · BC ； 

（3）设∠AOC =，若cos=，OC = 15 ，求AB的长。

 

Answer

（1）证明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO

             ∴△APO≌△BPO        ∴∠PBO=∠PAO=90°

             ∴PB是⊙O的切线

       （2）证明：∵∠OAC=∠PBC=90°

                  ∴△CPB∽COA

∴    即AC·PC= OC·BC

       （3）【解析】
cos==      ∴AO=12

            ∵△CPB∽COA     ∠BPC=∠AOC=

            ∴tan∠BPC==     ∴PB=36   PO=12

          ∵AB·PO= OB·BP        ∴AB=

【解析】（1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°即可；

（2）根据相似三角形的判定定理AA证明△CPB∽△COA，然后由相似三角形的对应边成比例求得，即AC·PC= OC·BC；

（3）在Rt△OAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得AO=12，利用△CPB∽COA求出PB=36，OP=12；然后由切线的性质求AB的长．