Question

如图9，平行四边形中，，，为锐角， .为线段上的一个动点（不包括端点），，交射线于点，交射线于点.

1.若点在线段上，求与的周长之和

2.判断在点的运动过程中，与是否会相似？如果相似，请求出的长；如果不相似，请说明理由.

Answer

1.方法一：

如图，过点作于，

∵ ，

   ，

∴.     ……………………………………………………… 1分

在平行四边形中，∥，， 

 ∴，又，∴四边形为矩形.

∴，，                     ………………………………………… 2分

在中，，=，

可求得，.                    ……………………………………………… 3分

∴ ，.         

∴.             ……………………………………………… 4分

方法二：

设，∵，∴，.                 ……… 1分

在平行四边形中，∥，，

∴，CG=BCBG=105k，.

∴在中， GF=84k，CF=63k.                     ……………………………… 3分

∴

               = 24.                     ……………………………………………………… 4分

2.①当时，设，

∵，∴，，，.

∵   

∴要使与相似，需满足或.

当时 ，

                        ………………………………………………………5分

∴                               ………………………………………………………6分

此时，，满足.

当 时，

                               ………………………………………………7分

∴  或                       ………………………………………………………8分

此时，或14，不满足.      …………………………………………………… 9分

∴当 时，与相似.

②当时，点与点重合，不存在与相似. ………………  10分

③当时，

∵∥，∥，是锐角

∴是钝角

又∵，∴也是锐角，

∴.

∵，，

又∵   

∴，且，

∴当时，不存在与相似.  …………………………………… 11分

综上所述，当时，与相似

【解析】（1）设，由

得，，即可求得与的周长

（2）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；