Question

如图，在中，，以为直径的⊙分别交、于点、，点在的延长线上，且．

1.求证：直线是⊙的切线；

2.若，，求的长．

Answer

1.证明：连结AE. ∵ AB是圆O的直径，

  ∴ ÐAEB=90°.∴Ð1+Ð2=90°.………………………… 1分

  ∵ AB=AC, ∴ Ð1=ÐCAB. ∵ÐCBF=ÐCAB.  3分

   ∴ Ð1=ÐCBF，∴ ÐCBF+Ð2=90°.……………………… 4分

       ∵ 即ÐABF=90°.∵ AB是圆O的直径，

       ∴ 直线BF是圆O的切线;               ……………………… 6分

2.∵ sinÐCBF=，Ð1=ÐCBF，

∴ sinÐ1=，                    ……………………… 7分

 ∵ ÐAEB=90°,AB=5, ∴BE=AB·sinÐ1=,     ……… 9分

 ∵ AB=AC，ÐAEB=90°, ∴ BC=2BE=2．……………………11分

【解析】(1) 连结AE,利用直径和角的等量代换求得ÐABF=90°，从而得到结论

（2）利用三角函数求解