Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

．

Answer

证明见解析

【解析】证明：（1）∵BF=DE，

∴BF－EF=DE－EF，即BE=CF， …………………………………………………（2分）

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，………………………………………………………………（3分）

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；………………………………………………………（5分）

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，……………………………………………………（7分）

∴AO=CO．……………………………………………………………………………（9分）

（1）由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO