Question

是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接．

（1）如图（a）所示，当点在线段上时，

     ①求证：；

②探究：四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，

①第（1）题中所求证和探究的两个结论是否仍然成立？（直接写出，不必说明理由）

②当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．

Answer

（1）①见解析，②平行四边形（2）①成立，②BC＝CD

【解析】【解析】
（1） ① ∵ △ABC和△ADE都是等边三角形,

∴ AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.

又∵ ∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD

∴ ∠EAB=∠DAC,

∴ △AEB≌△ADC． ………………………………………………………（3分）

② 四边形是平行四边形.   ………………………………………（6分）

（2）（1）中的结论:

① △AEB≌△ADC，② 四边形是平行四边形，均成立. ……………………（8分）

（3）当BC＝CD时，四边形BCFE是菱形．……………………………………………（9分）

理由： 由①得△AEB≌△ADC，

∴BE＝BC

又∵ BE＝CD，

∴ BC＝CD．

由②得四边形是平行四边形，

∴ 四边形是菱形．  ……………………………………………（13分）

（1）①证明：因∠EAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝60度，所以∠EAB＝∠DAC，又EA＝DA，BA＝CA，故△AEB≌△ADC．。②于是∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝∠DCA＋∠ABC＝120度。那么∠EBC＋∠BCG＝120度＋60度＝180度，于是EB//GC，又EG//BC，故BCGE为一平行四边形。     （2）BEGC仍为平行四边形。与（1）类似，容易证明：ΔABE全等于ΔACD，那么∠ABE＝∠ACD＝120度，于是∠CBE＝∠ACB＝60度，进而BE//GC，又BC//EG，从而得证。（3）欲使其成为菱形，只须BE＝BC，又BE＝CD，故只须选取D点使BC＝CD即可。