Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。

（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB=6,  求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和）

Answer

（1）作图见解析，BC是⊙O的切线（2）

【解析】【解析】
（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。

……………………………………………………………………………………（1分）

判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。 …………………………………………（1分）

  ∵AD平分∠BAC      ∴∠DAC=∠DAB

∵OA=OD              ∴∠ODA=∠DAB

∴∠DAC=∠ODA       ∴OD∥AC     ∴∠ODB=∠C

∵∠C=90º            ∴∠ODB=90º  即：OD⊥BC

∵OD是⊙O的半径      ∴ BC是⊙O的切线。…………………………………（2分）

(2) 如图  ∵r=2    ∴OB=4    ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º

∵△ODA的面积为

扇形ODE的面积为…………………………………………（1分）

∴围成的图形面积为……………（1分）

（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于O点，以O为圆心，OA为半径画圆即可．连接OD，由AD为角平分线可知∠OAD=∠CAD，由OA=OD可知∠OAD=∠ODA，得出内错角相等，判断OD∥AC即可；

(2)根据△ODA的面积+扇形ODE的面积=围成的图形面积求得