Question

操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

纸片利用率=×100%

发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．

你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．

请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．

    探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

Answer

（1）小明的这个发现正确，理由见解析（2）37.5%（3）．

【解析】【解析】
发现：（1）小明的这个发现正确．……………………………（1分）

理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，

∵AC=BC=，AB=2

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴AB为该圆的直径．                      

解法二：如图二：连接AC、BC、AB．

易证△AMC≌△BNC，

∴∠ACM=∠CBN．

又∵∠BCN+∠CBN=90°，

∴∠BCN+∠ACM=90°，

即∠BAC=90°，

∴AB为该圆的直径．                       ……………………………………（3分）

（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，

∴∠AED=∠EFH，

∵∠ADE=∠EHF=90°，

∴△ADE≌△EHF（ASA），

∴AD=EH=1．           ………………………… …………………………………（1分）

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

∴BC=8，

∴S△ACB=16．          ………………………………………………………………（1分）

∴该方案纸片利用率=×100%=37.5%；……………………………………（1分）

探究：（3）．      ………………………………………………………………（3分）

（1）根据勾股定理的逆定理判定

（2）利用△ADE≌△EHF，求出AD=1，即AC=4，利用△ADE∽△ACB, 求出BC=8, 即可求得

S△ACB，从而得出结论