Question

如图，已知抛物线y=ax＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，求：（1）抛物线解析式

（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC的正切值

（3）若以点A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标

Answer

（1）由题意得：9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3，

解得：a=-1, b=-2, c=3，

∴y=-x2-2x+3；

（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴P（-1，4），

∴PA=2，PC=，AC=3，

∵PA2=PC2+AC2

∴∠PCA=90°，

∴tan∠PAC=；

（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，

直线AP的解析式是：y=2x+6，

直线PC的解析式是：y=-x+3，

当AC是平行四边形的一条对角线时：PC∥AM，AP∥CM，

∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：直线MC的解析式是：y=2x+3，

直线AM的解析式是：y=-x-3，

∴M（-2，-1），

当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），

当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），

∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．

【解析】（1）利用待定系数法将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入y=ax2+bx+c

即可求出；

（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，进而求出PA，PC，AC，从而得出∠PAC正

   切值；

（3）求出直线AC的解析式，直线AP的解析式，直线PC的解析式，当AC是平行四边形

的一条对角线时，当PC是平行四边形的一条对角线时，当AP是平行四边形的一条对角   

线时分别得出．