Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 ()经过、两点，抛物线与轴交点为，其顶点为，连接，点是线段上一个动点(不与、重合)，过点作轴的垂线，垂足为，连接。

①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

②如果点的坐标为()，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；

③在②的条件上，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上；

Answer

①由知：时

即图象过点

又∵图象过点，

∴设 

将代入上式得：

∴

即为抛物线解析式。

其顶点为

①       设所在直线的解析式为 

将，代入

求得：

∴直线为：

∵在线段上，且不与重合   ∴

···

的取值范围是

当时，取最大值，

③坐标为

将其代入等式不成立

∴点不在抛物线上。

【解析】（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过（-1，0）B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax2+bx+3即可求出它的解析式．

（2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．

（3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点设出MC=m，则MF=m．从而得出M与E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EH∽△EM，得出EH和OH的值，最后求出的坐标，判断出不在抛物线上．