Question

在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，过B点作BG⊥AE于点G，交AC于H，交CD于点F。（1）求证：点F为边BC的中点；（2）如果正方形的边长为4，求CH的长度；（3）如果点M是BC上的一点，且AM=MC+CD，

探究∠MAD与∠BAE有怎样的数量关系，说明理由。

Answer

（1）证明：∵在正方形ABCD中，

          ∴AB=BC  ∠ABC=∠BCD=90°

          ∵BG⊥AE

          ∴∠AGB=90°

          ∴∠ABG+∠BAG=90°

            ∠ABG+∠GBE=90°

          ∴ ∠BAG=∠GBE

            ∴△ABE≌△BCF   

            ∴BE=CF

            ∵点E是BC边的中点  ∴BE=BC 

            ∴ CF=BC=CD   

∴点F为边BC的中点

  （2）∵ AB=BC=4 , ∠ABC =90°      ∴AC=

        ∵在正方形ABCD中,  ∴AB∥CD  ∴CH:HA=CF:AB

         由(1)知CF=AB    ∴CH:HA=CF:AB=1:2

         ∴CH=AH=AC=       

   （3）∠MAD=2∠BAE  理由如下：           

连接AF并延长交BC的延长线于点N,

        ∵点F为边BC的中点      ∴可证△ADF≌△NCF

        ∴CN=AD，∠N= ∠CAN

        ∵在正方形ABCD中,   ∴AD=DC=DN，

        ∵ AM=MC+CD   ∴MC+CN=MC+CD=NM

∴AM=MN     ∴∠N=∠MAN

∴∠MAD=2∠DAF

由（1）可知点F为CD的中点，

∴DF=BE   ∠ABE=∠ADF=90°   AB=AD

△ABE≌△ADF

∴∠DAF=∠BAE

        ∴∠MAD=2∠BAE                     

【解析】（1）利用BG⊥AE，得出∠AGB=90°，进而得出∠BAG=∠GBE，利用AAS得出△ABE≌△BCF，即可得出点F为边DC的中点；

（2）根据AB∥CD，得出CH：HA=CF：AB，由（1）知CF=AB，得出CH：HA=CF：AB=1：2，进而得出CH的长度；

（3）首先证明△ADF≌△NCF，得出CN=AD，∠N=∠CAN，进而得出∠MAD=∠AMB=2∠DAF，再求出△ABE≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAE，∠MAD=2∠BAE