Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作

⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．

Answer

（1）见解析（2）FB=

【解析】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）。

∴△CDO≌△BDO（HL）。∴∠COD=∠BOD。

在△OCE和△OBE中，

∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，

∴△OCE≌△OBE（SAS）。∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE。∴BE与⊙O相切。

（2）过点D作DH⊥AB，

∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴。

又∵ ，OB=9，∴OD=6。

∴OH=4，HB=5，DH=2。

又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=。

（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论。

（2）过点D作DH⊥AB，根据 ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长。