Question

在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P₁（x₁,y₁）与P₂（x₂,y₂）的“非常距离”，

给出如下定义：

      若∣x₁－x₂∣≥∣y₁－y₂∣，则点P₁与点P₂的“非常距离”为∣x₁－x₂∣；

      若∣x₁－x₂∣＜∣y₁－y₂∣，则点P₁与点P₂的“非常距离”为∣y₁－y₂∣.

      例如：点P₁（1,2），点P₂（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P₁与点P₂的“非常距离”为

∣2－5∣=3，也就是图1中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x

轴的直线P₂Q的交点）。

    （1）已知点，B为y轴上的一个动点，

         ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

         ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

    （2）已知C是直线上的一个动点，

       ①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

       ②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最

小值及相应的点E和点C的坐标。

 

Answer

【解析】
（1）①（0，－2）或（0，2）。

②。

（2）①设C坐标为，如图，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q。

     由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，

∴。

两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。

∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。

②设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。

由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=。∴。

设C坐标为

由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，

∴。

两边平方并整理，得，

解得，或（大于，舍去）。

∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。

【解析】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。

（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。

（2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。

②同①，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。