Question

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：

  ①S₁+S₂=S₃+S₄               ② S₂+S₄= S₁+ S₃ 

   ③若S₃=2 S₁，则S₄=2 S₂      ④若S₁= S₂，则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是    ▲    （把所有正确结论的序号都填在横线上）.

Answer

②④。

【解析】矩形的性质，相似

如图，过点P分别作四个三角形的高，

∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，

∴此时两三角形的高的和为AB，

∴S1+S3=S矩形ABCD；

同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。

∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。

若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。

如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，

∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，

∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。

∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，

即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。

∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。

故结论④正确。

综上所述，结论②和④正确。