Question

在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，

（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：

m	n	m＋n	f
1	2	3	2
1	3	4	3
2	3	5	4
2	5	6
3	5	7

猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________（不需要证明）；

（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，

Answer

【解析】
（1）如表：

m

n

m＋n

f

1

2

3

2

1

3

4

3

2

3

5

4

2

5

7

6

3

5

7

6

f=m＋n－1

（2）当m、n不互质时，上述结论不成立，如图2×4：

2×4

【解析】作图（应用与设计作图），分类归纳（图形的变化类）。

（1）通过题中所给网格图形，先计算出2×5，3×5，对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m、n的关系式。

（2）根据题意，画出当m、n不互质时，结论不成立的反例即可。