Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求线段BG的长；

（2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

Answer

见解析

【解析】

【解析】
（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DEAB，DFAC。

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，

∴BG=AC+AG。

∵BG=AB－AG，∴BG=。

（2）证明：BG=，FG=BG－BF=，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。

又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。

∴DG平分∠EDF。

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。

∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。

∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。

∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。

∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。

三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。

（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=。

（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG。

（3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C。