Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．女女

1.求该抛物线的解析式；

2.当动点P运动到何处时，BP²＝BD•BC；

3.当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer

1.y＝－x－4；

2.见解析

3.当x＝1时，S△BPC有最大值为3．

【解析】(1)利用A(4，0)、B(－2，0)两点，求出该抛物线的解析式

(2) 令x＝0时，求出点C的坐标，通过△BPD∽△BAC，求得BD的长，根据勾股定理求出BC的长，利用BP2＝BD•BC，求出点P的坐标

 (3)通过面积比是相似比的平方，求得△BPD的面积,利用S△BPC的最大值，求出点P的坐标

【解析】
(1)由题意，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x－4；

(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2＝BD•BC，

令x＝0时，则y＝－4，

∴点C的坐标为(0，－4)．

∵PD∥AC，

∴△BPD∽△BAC，

∴．

∵BC＝，

AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2．

∴BD＝＝＝．

∵BP2＝BD•BC，

∴(x＋2)2＝，

解得x1＝，x2＝－2(－2不合题意，舍去)，

∴点P的坐标是(，0)，即当点P运动到(，0)时，BP2＝BD•BC；

(3)∵△BPD∽△BAC，

∴，

∴×

S△BPC＝×(x＋2)×4－

∵，

∴当x＝1时，S△BPC有最大值为3．

即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大．