Question

某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Answer

【解析】
（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，

 ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。

（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，

解这个方程得x1=25，x2=43。

∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。

∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512，

∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。

（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时，z≥350。

又由限价32元，得25≤x≤32。

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，

∴当x=32时，每月制造成本最低。

最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）。

∴所求每月最低制造成本为648万元。

【解析】二次函数和一次函数的应用。

【分析】（1）根据每月的利润z=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式。

（2）把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得

z=﹣2（x﹣34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得的最大利润。

（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，求出最低成本。