Question

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P₁，P₂，P₃，P₄，P₅中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．

Answer

【解析】
（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；

显然有AB2+AC2=BC2，

∴根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形。

（2）△ABC和△DEF相似。理由如下：

根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2。

∴。∴△ABC∽△DEF。

（3）如图：

【解析】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似变换作图。

【分析】（1）利用网格借助勾股定理得出AB=2，AC= ，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。

（2）求出AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可。

 （3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可：

连接P2P5，P2P4，P4P5，

∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，DE=4，

∴。

∴△ABC∽△P2P4 P5。