Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

Answer

【解析】
(1) ∵△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转900得到的，

且A（0，1），B（2，0），O（0，0）

∴。

设抛物线的解析式为，

∵抛物线经过点A′、B′、B，

∴，解之得。

∴满足条件的抛物线的解析式为。

（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设，则，P点坐标满足。

连接PB，PO，PB′。

∴

。

假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，

则，即，解之得，此时。

∴P（1，2）。

∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍。

（3）四边形PB′A′B为等腰梯形。它的性质有：

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；

②等腰梯形对角线相等；

③等腰梯形上底与下底平行；

④等腰梯形两腰相等。

答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。

【解析】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。

【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。

（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。

（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可。