Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer

【解析】
（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。

                ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。

（2）由得，对称轴为x=﹣1。

 在中，令x=0，得y=3。

     ∴OC=3，AB=6，。

在Rt△AOC中，。

设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。

如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，

∴。

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得

，解得。来源:21

∴直线AC解析式为。来源:21世纪教育网]

直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，

∴直线L1的解析式为。

则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。

同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。

综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。

（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。

又FE=5，则在Rt△MEF中，-

ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。

在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，

FN=MN•cos∠MFE=3×。

则ON=。∴M点坐标为（，）。

直线l过M（，），E（4，0），

设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。

∴直线l的解析式为y=x+3。

同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。

综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。

【解析】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。

（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。

（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。

（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。