Question

如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．

（1）求证：△ADE∽△BCE；

（2）如果AD²=AE•AC，求证：CD=CB．

Answer

证明：

（1）∵∠A与∠B都是弧所对的圆周角， ∴∠A=∠B，

      又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。

（2）∵AD2=AE•AC，∴。

又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。

又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。

∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。

【解析】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。

（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE。

（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。