Question

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm，

① 用含x的代数式表示扇形的半径；

② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？

Answer

【解析】
（1）连接O1A。

 ∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，

∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。

∵，∴∠AO2O1=∠CO2D=30°。

在Rt△O1AO2中，，∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。

∵EF=24cm，∴FO2=EF－EO1－O1O2=24－3x，即扇形O2CD的半径为（24－3x）cm。

（2）设该玩具的制作成本为y元，则

。

∴当x=4时，y的值最小。

答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。

【解析】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。

（1）连接O1A．由切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。

（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。