Question

如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE＝DE．

Answer

见解析

【解析】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。

【分析】作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF＝∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE＝CF即可。

证明：作CF⊥BE，垂足为F，

∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°。

∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，∠CBE＋∠ABE＝90°，

∠BAE＋∠ABE＝90°。

∴∠BAE＝∠CBF。∴四边形EFCD为矩形。∴DE＝CF。

∵在△BAE和△CBF中，∠CBE＝∠BAE，∠BFC＝∠BEA＝90°，AB＝BC，

∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴BE＝CF。

又∵CF＝DE，∴BE＝DE。