Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．

(1)求证：AC平分BAD；

(2)若AC＝，CD＝2，求⊙O的直径．

Answer

【解析】
（1）如图：连接OC。

∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD。

∴∠ADC＝∠OCF＝90°。∴AD∥OC。

∴∠DAC＝∠OCA。

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA。

∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠BAD。       

（2）连接BC。

在Rt△ADC中，AC＝，CD＝2，∴AD＝4。

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC。

∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB。

∴，即。

∴AB＝5。

【解析】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD。

（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长。