Question

如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．

(1)①直接写出点E的坐标：　　．

②求证：AG＝CH．

(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

Answer

【解析】
（1）① (1，)。

②证明：∵四边形OABC是矩形，∴CE＝AE，BC∥OA。∴∠HCE＝∠GAE。

∵在△CHE和△AGE中，∠HCE＝∠GAE， CE＝AE，∠HEC＝∠G EA，

∴△CHE≌△AGE（ASA）。∴AG＝CH。

（2）连接DE并延长DE交CB于M，连接AC， 则由矩形的性质，点E在AC上。

∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点。

∵在△CME和△ADE中，

∠MCE＝∠DAE， CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，

∴△CME≌△ADE（ASA）。∴CM＝AD＝2－1＝1。

∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD，MD⊥CB。

∴MD切⊙O于D。

∵HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME。

在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2，即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝。

∴H(，1)，OG＝2－。∴G(，0)。

设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，

把G、H的坐标代入得：，解得：。

∴直线GH的函数关系式为。

（3）连接BG，

∵在△OCH和△BAG中，

CH=AG，∠HCO＝∠GAB，OC=AB，

∴△OCH≌△BAG（SAS）。∴∠CHO＝∠AGB。

∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F。

∴OH平分∠CHF。∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA。

∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE。

∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE=BE，

∴△HOE≌△GBE（SAS）。∴∠OHE＝∠BGE。21世纪教育网

∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA。

∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上。

过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA。∴。

设半径为r，则，解得。

答：⊙P的半径是．

【解析】一次函数综合题，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。

 ②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可。

（2）连接DE并延长DE交CB于M，求出DD＝OC＝OA，证△CME≌△ADE，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH＝HF＝x，推出(1－x)2＋()2＝(＋x)2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐标代入求出即可。

（3）连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出，设半径为r，代入求出即可。