Question

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

Answer

【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，

∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图1，连接BD交AC于O。

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC。

∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。

运动ts后，AP=t，AO=t，∴。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。

由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，

此时⊙P与边BC有一个公共点。

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴当时，⊙P与边BC有2个公共点。

如图4，

⊙P过点C，此时PC=PQ，即 =t

∴t=。

∴当1≤t≤时，⊙P与边BC有一个公共点。

当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，

此时，⊙P与边BC有一个公共点。

综上所述，当t=或1≤t≤或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，⊙P与边BC有2个公共点。

【解析】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。

（2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。