Question

在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.

1.求该二次函数的表达式；

2.设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间

≥)的变化规律为.现以线段为直径作.

①当点在起始位置点处时,试判断直线与的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由；

②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与相交? 此时,若直线被所截得的弦长为,试求的最大值.

Answer

1.将点和点的坐标代入,得,解得,

∴二次函数的表达式为

2.①当点在点处时,直线与相切,理由如下:

∵点,∴圆心的坐标为,∴的半径为,

又抛物线的顶点坐标为(0,－1),即直线l上所有点的纵坐标均为－1,从而圆心C到直线l的距离为,∴直线与相切. 

在点运动的过程中,直线与始终保持相切的位置关系,理由如下:

方法一: 设点,则圆心的坐标为,∴圆心C到直线l的距离为,又∵,∴,则的半径为,

∴直线与始终相切.  

方法二: 设点≥1),则圆心的坐标为,

∴的半径为,

而圆心C到直线l的距离为,

∴直线与始终相切

②由①知,圆C的半径为.

又∵圆心C的纵坐标为,直线l上的点的纵坐标为,所以

(ⅰ)当≥,即≤时,圆心C到直线l的距离为

,则由,得,解得,

∴此时≤；

(ⅱ)当＜,即＞时,圆心C到直线l的距离为

,则由,得,解得,

∴此时＜； 

综上所述,当时,直线与相交. 

(说明: 若学生就写成≤或＜,得全分；若学生依据直观,只考虑圆心C在直线l下方的情况,解出后,就得,也给全分)

∵当时,圆心C到直线l的距离为,又半径为,

∴,  

∴当时, 取得最大值为.

【解析】

1.所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．

2.①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．

②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．

在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．