Question

如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2＜x＜4）

1.当 时，求弦PA、PB的长度；

2.当x为何值时，PD×CD的值最大？最大值是多少？

Answer

1.PA=,PB=

2.当时， PD×CD 有最大值，最大值是2.

【解析】⑴由已知知，AB∥PC，证得△PCA∽△APB.求出PA 的长，利用勾股定理求得PB的长

⑵过O作OE⊥PD，求出PD和CD的积，即可得出结论

【解析】
⑴∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.