Question

如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

1.点B的坐标为  ▲  ，点C的坐标为  ▲  （用含b的代数式表示）；

2.请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

3.请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer

1.B（b，0），C（0，）

2.见解析

3.见解析

【解析】⑴令x=0,y=0,求得点B的坐标和点C的坐标

⑵假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P坐标（x，y），连接OP，利用四边形PCOB的面积求得x+4y=16，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，求得△PEC≌△PDB，得出x=y，解得x，y的值，根据△PEC≌△PDB，求出b的值,从而得出点P坐标

⑶假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，由两种可能：当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC；当∠OQC=90°时，△QOA≌△OCQ.分别求出点Q的坐标

【解析】
⑴B（b，0），C（0，）；

⑵假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.

  设点P坐标（x，y），连接OP，

⑶假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴.

∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°.

由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

由AQ=