Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：

∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

∴∠DPC＝90°。

∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2。

设PB＝x，则AP＝2－x，

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x＋3＝0，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。

∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。

问题2：存在。理由如下：

如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，

则G是DC的中点。过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。

∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。

∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。

又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。

∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。

问题3：存在。理由如下：

如图3，设PQ与DC相交于点G，

∵PE∥CQ，PD＝DE，∴。

∴G是DC上一定点。

作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。

∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，

∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴。

∴G是DC上一定点。

作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°

∠PAG＝∠QBG，

∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴，

∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。

过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。

∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。

∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。

∴CK＝CH•cos45°＝ (n＋4)，

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n＋4)。

【解析】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。

问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。

 问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。

问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。

问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。