Question

在锐角△ABC中，BC＝5，sinA＝．

(1)如图1，求△ABC外接圆的直径；

(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA＝BC，求AI的长。

Answer

【解析】
（1）作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。

    则∠CBD=900，∠D=∠A。

   ∴。

  ∵BC＝5，∴。

  ∴△ABC外接圆的直径为。

 （2）连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E。

   ∵BA=BC，∴BH⊥AC。∴IH=IE。

    在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BDH=4，。

   ∵，∴ ，即。

   ∵IH=IE，∴。

    在Rt△AIH中，。

【解析】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。

（1）作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A，从而由已知，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。

（2）连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定

和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由求得。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。