Question

如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t²；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是        （填序号）．

Answer

①③④．

【解析】

根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，

∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，

∴BC=BE=5，

∴AD=BE=5，故①小题正确；

又∵从M到N的变化是2，

∴ED=2，

∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，

在Rt△ABE中，AB===4，

∴cos∠ABE==，故②小题错误；

过点P作PF⊥BC于点F，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠PBF，

∴sin∠PBF=sin∠AEB==，

∴PF=PBsin∠PBF=t，

∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；

当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，

PQ=CD﹣PD=4﹣=，

∵=，==，

∴=，

又∵∠A=∠Q=90°，

∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．

综上所述，正确的有①③④．