Question

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer

（1）y=a（x﹣3）（x+1）；点B（1，4）

（2）见解析

（3）见解析

（4）s=

【解析】

（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．

将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x2+2x+3．

则点B（1，4）．

（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圆的直径．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．

（3）【解析】
Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．

②DE为短直角边时，P2在x轴上；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；

而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2（9，0）；

③DE为长直角边时，点P3在y轴上；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；

则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；

综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．

（4）【解析】
设直线AB的解析式为y=kx+b．

将A（3，0），B（1，4）代入，得解得

∴y=﹣2x+6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．

情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHD∽△FHM，得，即．

解得HK=2t．

∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．

情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3﹣t）．

∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+．

综上所述：s=．