Question

已知抛物线的顶点为P，与轴交于点A，与直线OP交于点B.

（Ⅰ）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且，求点M的坐标；

（Ⅲ）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥轴于点D.将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）依题意, , 解得b=-2.

          将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式得

          .

          解得 c=3.

          所以抛物线的解析式为.  

   （Ⅱ）∵抛物线 与y轴交于点A，

∴ A(0, 3).

∵ B(3, 6),

可得直线AB的解析式为.                 

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3).

           ∴ .

           ∴.

           解得 .                                          

           ∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3).                      

（Ⅲ）如图，由 PA=PO, OA=c, 可得.

∵抛物线的顶点坐标为 ,          

    ∴ .

          ∴ .              

∴ 抛物线,  A（0，），P（，）, D（,0）.

          可得直线OP的解析式为.     

          ∵ 点B是抛物线

与直线的图象的交点，

          令 .

          解得.                  

          可得点B的坐标为（-b，）. 

          由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为.

          将点D(，0)的坐标代入，得.

          ∴ 平移后的抛物线解析式为. 

           令y=0, 即.

           解得.

           依题意, 点C的坐标为（-b，0）.    

           ∴ BC=.

           ∴ BC= OA.

又BC∥OA，

∴ 四边形OABC是平行四边形.

           ∵ ∠AOC=90°，

           ∴ 四边形OABC是矩形.      

【解析】（I）利用顶点P的横坐标求出b=-2,然后把b=-2和B点的坐标代入求出抛物线的解析式；

（II）先求出A点坐标，然后得出直线AB的解析式，设M点坐标为（x，），根据列出方程，并解方程，从而得出M点坐标；

（III）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C点坐标，然后求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据∠AOC=90°得出四边形OABC是矩形。