Question

有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：

第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点处，得折痕EF；

第二步：如图②，将五边形折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；

第三步：如图③，进一步折叠，使AE、均落在DG上，点A、落在点处，点E、F落在点处，得折痕MN、QP.这样，就可以折出一个五边形DMNPQ.

（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段                 （写出一组即可）；

（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：

①；          ②；

③；            ④.

其中，正确结论的序号是              （把你认为正确结论的序号都填上）.

Answer

（Ⅰ）(答案不惟一，也可以是等)；（Ⅱ）①②③

【解析】（1）由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；

（2）由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，

由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，

∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，

∴∠ADE=∠MDB-∠EDB=54°-36°=18°．

在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD2+AE2=DE2=BE2，即b2+AE2=（a-AE）2，

解得AE=．∵tan∠ADE=tan18°=，∴a2-b2=2abtan18°，即①正确；

∵BG=DB=，NG=DM=m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=m：．

∴m=•tan18°，即②正确．

∵AM=AD-DM=b-m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=（b-m）：a，∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．故①②③正确．