Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在

AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（Ⅰ）求证：直线BF是⊙O的切线；

（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

Answer

（Ⅰ）证明：连接AE.

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°.        

∴∠EAB+∠ABE=90°.

         ∵ AB=AC , ∴∠EAB=∠CAB .          

           ∵∠CBF=∠CAB , ∴∠EAB =∠CBF，      

           ∴ ∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF==90°.

            ∵AB是⊙O的直径，∴ 直线BF是⊙O的切线.

（Ⅱ）【解析】
过点C作CG⊥AB于点G .

          ∵sin∠CBF=，∠EAB =∠CBF，  ∴sin∠EAB=，

           ∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE= AB·sin∠EAB=

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2 BE=2.  

在Rt△ABE中，AE==2.

∴ sin∠ABE=，cos∠ABE=.

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2 ，∴ AG=3 .

∵CG∥BF，∴△AGC∽△ABF，          

∴  ,∴BF==.      

【解析】（I）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．

（II）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．