Question

已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．

(1) 求证：BF∥AC；

(2) 若AC边的中点为M，求证：；

(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

      图1                                     图2

Answer

证明：（1）如图6．

              ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，

CH⊥AB于点H，

直线DE交直线CH于点F，

∴ BF=DF，DH=BH．

∴ ∠1=∠2．

又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，

∴ ∠A＝∠2．

∴ BF∥AC．

（2）取FD的中点N，连结HM、HN.

     ∵ H是BD的中点，N是FD的中点，

∴ HN∥BF．

由（1）得BF∥AC，

∴ HN∥AC，即HN∥EM．

∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

AC边的中点为M，

∴ ．

∴ ∠A＝∠3．

∴ ∠EDA=∠3．

∴ NE∥HM．

∴ 四边形ENHM是平行四边形．

∴ HN=EM．

∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，

∴ ，即．

∴ ．

（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）

     证明：连结CD．（如图8）

              ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴  BC=CD，∠ABC＝∠5．

     ∵  AB＝BC，

∴ ，

 AB＝CD．①

∵ ∠EDA=∠A，

∴ ，AE=DE．②

∴ ∠ABC＝∠6=∠5．

∵ ∠BDE是△ADE的外角，

∴ ．

∵ ，

∴ ∠A＝∠4．③

          由①，②，③得 △ABE≌△DCE．

          ∴ BE= CE．

              由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．

              由（1）中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF．

              ∴ ∠CFE=∠ECF．

              ∴ EF=CE．

              ∴ BE=EF．              ∴ BE=EF=CE．

（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）