Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为 (1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．

(1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；

(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．

Answer

【解析】
（1）∵ ，

∴ 抛物线的对称轴为直线．

∵ 抛物线与x轴交于

   点A、点B，点A的坐标为，

∴ 点B的坐标为，OB＝3

可得该抛物线的解析式为．

∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，

∴ OC=3，点C的坐标为．

将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．

∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）

       （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）

            可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．

∵ 、都是弧AB所对的圆周角，

∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．

由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．

            ∴ 点E的坐标为．

∴ 由勾股定理得 ．

∴ ．

∴ 点的坐标为．

由对称性得点的坐标为．

∴符合题意的点P的坐标为、.．

（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，

可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．21世纪教育网

∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）

若设与∠AQB的平分线的交点为M，

则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．  

∵ ，

∴

作⊥x轴于点N．

∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，

∴ ，．

∴ 点的坐标为．

∵ 点Q在线段BD上，

∴ 设点Q的坐标为，其中．

∵ ，

∴ 由勾股定理得 ．

解得．

经检验，在的范围内．

∴ 点Q的坐标为．

此时