Question

如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30^o，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H。在抛物线y=x²  (x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是                     .

Answer

(3，) , (，) , (2，2) , (，)

【解析】①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；由于∠AOH=30°，所以直线OA：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；故A（，）；

②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，

得：，解得，；故P（，3），那么A（3，）；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，

得：，解得、，故P（，3），∴OP=2，QP=2，∴OH=OP=2，AH=QP=2，

故A（2，2）；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，，

∴P（，），∴QP=，OP=，∴OH=QP，QP=，AH=OP=，

故A（，）．

综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：则符合条件的点A的坐标是(3，) , (，) , (2，2) , (，).