Question

已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，对称轴是．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点是线段上的动点，过点作∥，分别交轴、于点P、，连接．当的面积最大时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，求的值.

Answer

（1）由题意，得解得

所求抛物线的解析式为：．

（2）设点的坐标为，过点作轴于点．

由，得，．

∴点的坐标为．

∴，．

∥，∴．∴，

即． ∴．

．

又，

∴当时，有最大值3，此时．

（3）∵  、、 、

∴ 是等腰直角三角形

∴

∵∥

∴

∴ 是等腰直角三角形

∴ 点P的坐标为

∴

∴

∴

∵

∴   

【解析】（1）由抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A的坐标为（-4，0），对称轴是x=-1，利用待定系数法求解即可求得二次函数的解析式；

（2）由（1）即可求得点B的坐标，则可求得AB与BM的长，又由MN∥AC，即可证得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得NE的长，S△CMN=S△CBM-S△NBM，求得S△CMN=- (m+1)2+3，则可求得△CMN的面积最大时，点M的坐标；

（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），则可证得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的长，又由MN∥AC，证得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面积，然后由S△CPN=S△CMN-S△CPM求得△CPN的面积，又由S△ABC=AB•OC=12，求其比值即可求得答案．