Question

已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP²＝PE·PF．

Answer

连接PC，

∵AB=AC，AD是中线，

∴AD是△ABC的对称轴．

∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．

∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP（两直线平行，内错角相等），

∴∠PCE=∠PFC．

又∠CPE=∠EPC，

∴△EPC∽△CPF．

∴（相似三角形的对应边成比例）．

∴PC2=PE•PF．

∴BP2=PE•PF．

【解析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可．